ข้อสอบคณิตศาสตร์ นักเรียนเตรียมทหาร (นตท.) — ทางเข้านายร้อย
เลขยกกำลัง พหุนาม สมการ อสมการ เรขาคณิต ตรีโกณมิติ เซต ฟังก์ชัน ลำดับ ความน่าจะเป็น และสถิติ ระดับ ม.ต้น–ม.4
หัวข้อที่ออกสอบ
ตัวอย่างข้อสอบคณิตศาสตร์ พร้อมเฉลย
ข้อ 1
เลขยกกำลังและกรณฑ์ค่าของ (3⁴ × 3⁻²)³ ÷ 3⁵ เท่ากับเท่าใด
- ก. 1
- ข. 1/27
- ค. 243
- ง. 3
ดูเฉลย เทคนิคติวเตอร์ และวิธีคิด
คำตอบ: ง. 3
สูตรที่ใช้
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
รวมเลขชี้กำลังของสองตัวในวงเล็บที่คูณกันด้วยการบวก
คูณเลขชี้กำลังที่ได้ด้วยเลขยกกำลังนอกวงเล็บ
ลบด้วยเลขชี้กำลังของตัวหาร แล้วคิดค่าเลขยกกำลังที่เหลือ
⚠ เลขยกกำลังนอกวงเล็บต้องกระจายเข้าทุกตัว รวมตัวที่มีเลขชี้กำลังติดลบ
เทคนิคติวเตอร์ — เห็นโจทย์แบบนี้ ตอบแบบนี้
เห็นเลขยกกำลังหลายชั้นที่ฐานเดียวกัน → รวมเป็นเลขชี้กำลังตัวเดียวก่อน: คูณกัน → บวก, ยกกำลังซ้อน → คูณ, หารกัน → ลบ เช็กเร็ว: เลขยกกำลังนอกวงเล็บต้องคูณเข้า "ทุกตัว" ในวงเล็บ รวมตัวที่ติดลบด้วย
วิธีคิด
จับใจความโจทย์: ทุกตัวเป็นฐาน 3 อยู่แล้ว ใช้กฎเลขชี้กำลัง (คูณ → บวก, ยกกำลังซ้อน → คูณ, หาร → ลบ) ในวงเล็บ: 3⁴ × 3⁻² = 3 ยกกำลัง (4 + (−2)) = 3² ยกกำลังซ้อน: (3²)³ = 3 ยกกำลัง (2 × 3) = 3⁶ หาร: 3⁶ ÷ 3⁵ = 3 ยกกำลัง (6 − 5) = 3¹ = 3 ตัวหลอก 1 มาจากเอา 2 + 3 − 5 = 0 (บวกเลขชี้กำลังแทนการคูณตอนยกกำลังซ้อน) ตัวหลอก 1/27 มาจากลืมยกกำลัง 3 ด้านนอก ได้ 3² ÷ 3⁵ = 3⁻³ ตัวหลอก 243 มาจากกระจายกำลัง 3 ให้แค่ 3⁴ แต่ลืม 3⁻² (ได้ 3 ยกกำลัง (12 − 2 − 5) = 3⁵)
ข้อ 2
เลขยกกำลังและกรณฑ์ค่าของ √50 + √18 − √8 เท่ากับเท่าใด
- ก. √60
- ข. 6√2
- ค. 10√2
- ง. 4√2
ดูเฉลย เทคนิคติวเตอร์ และวิธีคิด
คำตอบ: ข. 6√2
สูตรที่ใช้
√(a²b) = a√b และ m√b + n√b = (m + n)√b
แยกเลขใต้รากแต่ละตัวให้เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์คูณกับเลขที่เหมือนกัน
ถอดรากส่วนที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ออกมาเป็นสัมประสิทธิ์
บวกลบสัมประสิทธิ์ตามเครื่องหมายเดิม โดยคงรากที่เหมือนกันไว้
⚠ √a + √b ไม่เท่ากับ √(a + b)
เทคนิคติวเตอร์ — เห็นโจทย์แบบนี้ ตอบแบบนี้
เห็นกรณฑ์หลายตัวบวกลบกัน → แยกเลขใต้รากเป็น (กำลังสองสมบูรณ์ × เลขเดียวกัน) เช่น 4, 9, 25 คูณ 2 แล้วรวมสัมประสิทธิ์ ห้ามบวกเลขใต้รากตรง ๆ: √a + √b ≠ √(a + b) → ตัดตัวเลือกแบบ √(ผลรวม) ทิ้งได้ทันที
วิธีคิด
จับใจความโจทย์: บวกลบกรณฑ์ได้เฉพาะเมื่อ "เลขใต้รากเหมือนกัน" จึงต้องถอดรากให้เหลือ √2 ก่อน √50 = √(25 × 2) = 5√2 และ √18 = √(9 × 2) = 3√2 √8 = √(4 × 2) = 2√2 รวม: 5√2 + 3√2 − 2√2 = (5 + 3 − 2)√2 = 6√2 ตัวหลอก √60 มาจากเอาเลขใต้รากมาบวกลบกันตรง ๆ (ทำไม่ได้) ตัวหลอก 4√2 มาจากดึง 4 ออกจาก √8 ทั้งตัว ที่ถูกต้องดึงออกมาเป็น √4 = 2 ตัวหลอก 10√2 มาจากบวกทุกพจน์โดยลืมเครื่องหมายลบหน้า √8
ข้อ 3
พหุนามและการแยกตัวประกอบข้อใดเป็นการแยกตัวประกอบของ x² − 5x − 14 ได้ถูกต้อง
- ก. (x − 7)(x + 2)
- ข. (x + 7)(x − 2)
- ค. (x − 7)(x − 2)
- ง. (x − 14)(x + 1)
ดูเฉลย เทคนิคติวเตอร์ และวิธีคิด
คำตอบ: ก. (x − 7)(x + 2)
สูตรที่ใช้
x² + (m + n)x + mn = (x + m)(x + n)
หาเลขสองจำนวนที่คูณกันได้ค่าคงตัว และบวกกันได้สัมประสิทธิ์ของ x
ใส่เลขทั้งสองลงในวงเล็บ (x + เลขแรก)(x + เลขที่สอง)
กระจายกลับเพื่อตรวจพจน์กลาง
⚠ ค่าคงตัวติดลบ แปลว่าเลขสองตัวนั้นมีเครื่องหมายต่างกัน
เทคนิคติวเตอร์ — เห็นโจทย์แบบนี้ ตอบแบบนี้
เห็น x² + bx + c ที่ c ติดลบ → ตัวประกอบสองตัวต้องเครื่องหมายต่างกัน และตัวที่ค่าสัมบูรณ์มากกว่าจะมีเครื่องหมายเดียวกับ b ตัดเร็ว: กระจายเฉพาะพจน์กลางของแต่ละตัวเลือกในใจ ตัวไหนพจน์กลางไม่ตรงก็ตัดทิ้ง
วิธีคิด
จับใจความโจทย์: หาเลขสองจำนวนที่ "คูณกันได้ −14" และ "บวกกันได้ −5" คู่ที่คูณกันได้ −14: (1, −14), (−1, 14), (2, −7), (−2, 7) คู่ที่บวกกันได้ −5 คือ 2 กับ −7 → x² − 5x − 14 = (x − 7)(x + 2) ตรวจ: (x − 7)(x + 2) = x² + 2x − 7x − 14 = x² − 5x − 14 ตรงกับโจทย์ ตัวหลอก (x + 7)(x − 2) กระจายได้ x² + 5x − 14 (พจน์กลางเครื่องหมายผิด) ตัวหลอก (x − 7)(x − 2) ได้ค่าคงตัว +14 และ (x − 14)(x + 1) ได้พจน์กลาง −13x จึงผิดทั้งคู่
ข้อ 4
สมการและอสมการคำตอบของสมการ 3(x − 2) − 2(x + 1) = 5 คือข้อใด
- ก. x = 13
- ข. x = 9
- ค. x = 12
- ง. x = −3
ดูเฉลย เทคนิคติวเตอร์ และวิธีคิด
คำตอบ: ก. x = 13
สูตรที่ใช้
a(b + c) = ab + ac และย้ายข้างต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย
กระจายตัวคูณหน้าวงเล็บเข้าทุกพจน์ รวมเครื่องหมายลบหน้าวงเล็บที่สอง
รวมพจน์ x และรวมค่าคงตัวทางซ้าย
ย้ายค่าคงตัวไปอีกข้างแล้วหาค่า x
⚠ −2(x + 1) ต้องได้พจน์ค่าคงตัวเป็นลบ
เทคนิคติวเตอร์ — เห็นโจทย์แบบนี้ ตอบแบบนี้
เห็นเครื่องหมายลบหน้าวงเล็บ → คูณ "ลบ" เข้าไปทุกพจน์ในวงเล็บ ทุกเครื่องหมายข้างในต้องกลับ เช็กเร็ว: แทนตัวเลือกกลับลงสมการเดิม ข้อที่ได้ค่าทางขวาพอดีคือคำตอบ
วิธีคิด
จับใจความโจทย์: กระจายวงเล็บให้ครบ ระวังเครื่องหมายลบหน้าวงเล็บที่สอง 3(x − 2) = 3x − 6 และ −2(x + 1) = −2x − 2 รวม: 3x − 6 − 2x − 2 = x − 8 x − 8 = 5 → x = 13 ตัวหลอก x = 9 มาจากกระจาย −2(x + 1) เป็น −2x + 2 ตัวหลอก x = 12 มาจากลืมคูณ 2 เข้ากับ 1 (ได้ −1 แทน −2) ตัวหลอก x = −3 มาจากย้ายข้าง −8 แล้วไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย (5 − 8)
ข้อ 5
สมการและอสมการเซตคำตอบของอสมการ 5 − 2x > 11 คือข้อใด
- ก. {x | x > −3}
- ข. {x | x < −3}
- ค. {x | x < 3}
- ง. {x | x > 3}
ดูเฉลย เทคนิคติวเตอร์ และวิธีคิด
คำตอบ: ข. {x | x < −3}
สูตรที่ใช้
ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว a/c < b/c
ย้ายค่าคงตัวไปไว้อีกข้างของอสมการ
หารทั้งสองข้างด้วยสัมประสิทธิ์ของ x
ถ้าสัมประสิทธิ์ของ x ติดลบ ให้กลับทิศเครื่องหมายอสมการ
⚠ ลืมกลับเครื่องหมายเป็นกับดักที่พบบ่อยที่สุด
เทคนิคติวเตอร์ — เห็นโจทย์แบบนี้ ตอบแบบนี้
เห็นอสมการที่ต้องหารด้วย "สัมประสิทธิ์ติดลบ" → กลับทิศเครื่องหมายทันที (> เป็น <, ≥ เป็น ≤) เช็กเร็ว: แทนเลขง่าย ๆ อย่าง 0 ลงในอสมการเดิม ถ้าเท็จ แปลว่าคำตอบต้องไม่รวม 0
วิธีคิด
จับใจความโจทย์: แก้อสมการเหมือนสมการ แต่ถ้าคูณหรือหารด้วยจำนวนลบต้องกลับเครื่องหมายอสมการ 5 − 2x > 11 → −2x > 11 − 5 → −2x > 6 หารทั้งสองข้างด้วย −2 (จำนวนลบ) ต้องกลับ > เป็น < ได้ x < −3 ตรวจ: x = −4 → 5 + 8 = 13 > 11 จริง ส่วน x = 0 → 5 > 11 เท็จ ตัวหลอก x > −3 มาจากลืมกลับเครื่องหมาย ตัวหลอก x < 3 และ x > 3 มาจากหาร 6 ด้วย 2 แล้วทิ้งเครื่องหมายลบไป